TRANSPORTASYON (ULAŞTIRMA) MODELLERİ

İÇİNDEKİLER

1.Ulaştırma Modelleri	1
1.1.Ulaştırma Modellerinin Matematik Modeli	1
1.2.Başlangıç Çözümünün Bulunması	3
1.2.1.Kuzey-Batı Köşesi Yöntemi	5
1.2.3.En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi	6
1.2.4.Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemi	7
1.2.5.Vogel Yaklaşımı	8
1.3.Optimum Çözümün Bulunması	12
1.3.1.Atlama Taşı Yöntemi	12
1.3.2.Çoğaltan Yöntemi	16
Yararlanılan Kaynaklar	22

1.TRANSPORTASYON (ULAŞTIRMA) MODELLERİ

Ulaştırma modelleri, üretilen malların belirli hedeflere minimum maliyetle gönderilmesini amaçlayan, doğrusal programlama modellerinin özel bir türüdür. Amaç, üretim merkezlerinden dağıtım merkezlerine mallar dağıtılırken, bir işi minimum maliyetle gerçekleştirmektir.

Ulaştırma modelleri, doğrusal programlama modelleriyle benzer biçimde çözülebilir. Fakat bu modellerde, bizi daha çabuk çözüme götürecek ulaştırma algoritmasını kullanmak mümkündür.

Ulaştırma modelleri, aşağıdaki alanlarda sıkça kullanılır:

Üretim ve tüketim merkezleri arasındaki optimal mal dağıtımının belirlenmesinde

İşlerin makinalara dağıtımında

Üretim planlamada

Şebeke ağı problemlerinde

Tesis yeri seçiminde

1.1.ULAŞTIRMA PROBLEMLERİNİN MATEMATİK MODELİ

i: üretim (arz) merkezi

j: tüketim (talep) merkezi

S_i:i. Üretim merkezinin kapasitesi

D_j:j. Tüketim merkezinin talebi

c_ij: i. merkezden j. Merkeze 1 birim ürün göndermenin maliyeti

X_ij: i. merkezden j.merkeze ulaştırılan miktar

Amaç:

Minimum Z = å c_ijX_ij

Modelin tablo halinde gösterimi bir sonraki sayfada verilmiştir.

Arz

Üretim Merkezi

Tüketim Merkezi

Talep

A₁

S₁

D₁

T₁

A₂

S₂

A₃

S₃

D₂

T₂

Ulaştırma modellerinin gösterimi için ulaştırma tabloları kullanılır. Aşağıda bir ulaştırma tablosu örneği verilmiştir.

D₁

D₂

D₃

D₄

Arz

S₁

X₁₁

X₁₂

X₁₃

X₁₄

A₁

S₂

X₂₁

X₂₂

X₂₃

X₂₄

A₂

S₃

X₃₁

X₃₂

X₃₃

X₃₄

A₃

S₄

X₄₁

X₄₂

X₄₃

X₄₄

A₄

Talep

T₁

T₂

T₃

T₄

Her satır ve sütün için arz ve talep eşitlikleri ayrı ayrı sağlanmalıdır.

Eğer ulaştırma tablosunda Toplam Arz = Toplam Talep eşitliği sağlanıyorsa, ulaştırma problemi dengededir. Eğer eşitlik sağlanmıyorsa, ulaştırma probleminin çözümüne başlamadan önce, problemin dengeye getirilmesi gerekir. Bunun için;

Talep < Arz ise, probleme yapay talep merkezi eklenir ve sanki eklenen merkeze de mal gönderiliyormuş gibi düşünülür.

Talep > Arz ise, probleme yapay üretim merkezi eklenir ve yapay merkezden de eksik olan talep karşılanabilirmiş gibi düşünülür.

1.2.BAŞLANGIÇ ÇÖZÜMÜNÜN BULUNMASI

Ulaştırma problemlerinin çözülebilmesi için, öncelikle bir başlangıç çözümünün bulunması gereklidir. Bulunan bir çözümün geçerli olabilmesi için i satır (üretim merkezi) ve j sütundan (tüketim merkezi) oluşan bir ulaştırma probleminde çözüm sonucunda atama yapılan hücrelerin sayısı, (i + j – 1)’e eşit olmalıdır.

Ulaştırma problemlerinde başlangıç çözümü bulmak için kulanılan yöntemler şu şekilde sıralanabilir:

Kuzey-Batı Köşe Yöntemi

En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi

Sıra / Sütun En Küçüğü Yöntemi

Vogel Yaklaşımı (VAM)

Bu yöntemleri anlatabilmek amacıyla aşağıdaki örneği kullanacağız.

Örnek 1

Arz ve Talep Miktarları

Üretim Merkezi

Arz

Tüketim Merkezi

Talep

A₁

200

T₁

250

A₂

400

T₂

200

A₃

250

T₃

350

Birim Taşıma Maliyetleri

Üretim Merkezi

T₁

T₂

T₃

A₁

10

6

5

A₂

7

8

8

A₃

6

9

12

Ulaştırma probleminin tablosu şu şekilde olacaktır:

Ulaştırma Tablosu

T₁

T₂

T₃

Arz

A₁

X₁₁

X₁₂

X₁₃

200

A₂

X₂₁

X₂₂

X₂₃

400

A₃

X₃₁

X₃₂

X₃₃

250

Talep

250

200

350

800

Çözüme başlamadan önce, arz ve talep miktarlarının birbirine eşit olup olmadıklarını kontrol etmemiz gereklidir.

Toplam Arz = 200 + 400 + 250 = 850 birim iken,

Toplam Talep = 250 + 200 + 350 = 800 birimdir.

Görüldüğü gibi toplam arz, toplam talepten 850 – 800 = 50 birim fazladır. Bu nedenle 50 birimlik fazla arzı tüketebilecek yapay bir talep merkezi yaratmamız gereklidir. Bu merkeze T₄ diyelim. Bu durumda ulaştırma tablosu aşağıdaki şekli alacaktır. Dikkat edilirse bu talep merkezi için ulaştırma maliyetleri 0’dır.

Dengelenmiş Ulaştırma Tablosu

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

A₁

X₁₁

X₁₂

X₁₃

X₁₄

200

A₂

X₂₁

X₂₂

X₂₃

X₂₄

400

A₃

X₃₁

X₃₂

X₃₃

X₃₄

250

Talep

250

200

350

50

850

1.2.1.Kuzey-Batı Köşesi Yöntemi

Bu yöntemde, ulaştırma tablosunun sol üstteki hücresinden başlanarak elverişli miktarlar olabildiği kadar dağıtılır. Maliyetler göz önüne alınmaz. Karşılanan talep ya da arzla ilgili satır ya da sütün devreden çıkarılarak tablonun geriye kalan bölümü için dağıtıma devam edilir. Yukarıdaki örnek problem için Kuzey-Batı Köşesi yöntemi şu şekilde uygulanır.

Tablonun kuzeybatısındaki hücre (X₁₁), için atayabileceğimiz en büyük değer 200’dür. Bu durumda A1’den T1’e 200 birimlik bir arz gerçekleşir ve 250 – 200 = 50 birimlik karşılanmamış bir talep kalır. Tablodaki birinci satır devreden çıkarılır. Çünkü 200 birimlik arz gerçekleşmiştir.

Tablonun geriye kalan kısımının kuzeybatısındaki hücre X₂₁’dir. Buraya yapılacak en büyük atama 50 birimdir. Böylece ilk sütun için tüm talep karşılanmış olur ve ikinci satırda 400 – 50 = 350 birimlik arz olanağı kalır.

Birinci sütun devreden çıkarıldıktan sonra benzer işlemler tablonun geriye kalan kısmı için uygulanır.

Sonuçta, 200, 50, 200, 150, 200, 250 olmak üzere toplam 6 hücreye atama yapılmıştır. Satır sayısı + sütun sayısı – 1 = 6 olduğuna göre bulunan çözüm, başlangıç çözümü olarak kullanılabilir.

Kuzey-Batı Yöntemiyle Bulunan Başlangıç Çözümü

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

A₁

200

200

A₂

50

200

150

400

A₃

200

250

250

Talep

250

200

350

50

850

Toplam ulaştırma maliyeti = 200 x 10 + 50 x 7 + 200 x 8 + 150 x 8 + 200 x 12 + 250 x 0

= 7550

1.2.2.En Az Maliyetli Gözeler Yöntemi

Başlangıç ulaştırma tablosundaki en düşük birim maliyete sahip gözeye, olabilecek en büyük miktar atanarak işe başlanır. Sonra sıra ile bir sonraki en düşük maliyetli göze atama yapılır ve tüm arz ve talep miktarları doyurulana kadar işlem sürdürülür.

Şimdi bu yöntemi, örnek problemimiz için uygulayalım.

Tablomuzdaki en düşük maliyetli hücreler, X₁₄, X₂₄ve X₃₄’tür. 50 birimlik talep, bunlardan herhangi birine atanabilir. Fakat, hangi sırada yüksek maliyetli hücreler varsa o satıra atama yapılması daha uygun olur. Böylece X₁₄ = 50 birimlik atama yapılır ve 4. sütun devreden çıkarılır.

İkinci küçük maliyetli hücre X₁₃’tür. Bu hücreye 200 birimlik atama yapılır ve 1.satır devreden çıkarılır. 3. sütunda 150 birimlik karşılanmamış bir talep kalır.

X₃₁ = 200 birim ayrılır ve 3.satır devreden çıkarılır. 2.satırda geriye 350 birimlik arz kalmıştır.

X₂₂ ve X₂₃ hücrelerindeki maliyet değerleri eşittir. X₂₂, daha fazla birimin atanmasına olanak sağladığından buraya 200 birimlik dağıtım yapılır ve 2.satırda geriye 150 birimlik arz kalır.

X₂₃’e 150 birim atanır ve başlangıç çözümü tamamlanmış olur.

En Az Maliyetli Gözeler Yöntemiyle Bulunan Başlangıç Çözümü

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

A₁

200

200

A₂

50

200

150

400

A₃

200

50

250

Talep

250

200

350

50

850

Toplam ulaştırma maliyeti = 200 x 5 + 50 x 7 + 200 x 8 + 150 x 8 + 200 x 6 + 50 x 0

= 5350

1.2.3.Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemi

Bu yönteme göre önce birinci satırdaki/sütundaki en küçük maliyetli hücreye en büyük atama yapılır. Eğer 1.satır/sütun doyurulmamışsa, aynı sıradaki/sütundaki bir sonraki en düşük maliyetli hücreye atama yapılır ve tüm satır/sütunlar için bu işlem sürdürülür. Bu yöntemle bulunan başlangıç çözümü aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Sıra veya Satır En Küçüğü Yöntemiyle Bulunan Başlangıç Çözümü

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

A₁

150

50

200

A₂

250

150

400

A₃

200

50

250

Talep

250

200

350

50

850

Toplam ulaştırma maliyeti = 150 x 5 + 50 x 0 + 250 x 7 + 150 x 8 + 200 x 9 + 50 x 12

= 6100

1.2.4.Vogel Yaklaşımı (VAM)

Vogel yaklaşımı, diğer yöntemler kadar kolay bir şekilde başlangıç çözümü vermez. Fakat elde edilen başlangıç çözümü, optimal çözüme oldukça yakındır.

Bu yöntemde, en düşük maliyetli gözleri seçmemekten doğan ek maliyetler hesaplanır. Bunlara ceza maliyetleri denir. Başlangıç çözümünü bulmak için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır.

1. Ulaştırma tablosundaki maliyetler göz önüne alınarak, herbir satır ve sütun için cezalar belirlenir. Satır cezaların belirlenmesi için, herbir satırda yer alan en küçük maliyetli eleman, aynı satırdaki en küçük maliyetli ikinci elemandan çıkarılır. Sütun cezaların belirlenmesi için, herbir sütunda yer alan en küçük maliyetli eleman, aynı sütundaki en küçük maliyetli ikinci elemandan çıkarılır.

2. En büyük ceza seçilerek bu cezanın karşısındaki satır ya da sütundaki en düşük maliyetli hücreye olabildiğince dağıtım yapılır.

3. Ceza maliyetleri sürekli hesaplanarak, geriye kalan hücreler için de aynı işlem tekrarlanır.

Şimdi bu yöntemi, aşağıdaki örneğe uygulayalım.

Örnek2

XYZ Rent A Car şirketi arabalarını iki merkezden kiraya vermektedir. Arabaları kiralamak isteyen kişilerin talepleri sırasıyla, 9, 6, 7 ve 9 araba’dır. Şirketin elinde fazladan 1.merkezde 15, 2.merkezde ise 13 araba vardır. Kira sözleşmesine göre arabaların işleri bittikten sonra kiralanan merkeze teslim edilmeleri gereklidir. Arabaların kiraya verildikleri merkez ile müşterilerin bulundukları yerler arasındaki birim taşıma maliyetleri aşağıdaki gibidir.

1.müşteri

2.müşteri

3.müşteri

4.müşteri

1.merkez

0

17

21

30

2.merkez

14

18

19

31

Yukarıdaki tabloya baktığımızda, merkezlerden kiraya verilebilecek toplam araba sayısının 28, araba talebinin 31 olduğu görülür. Bu nedenle, 31 – 28 = 3 birimlik talebi karşılayacak yapay bir kiralama merkezinin probleme eklenmesi gerekir. Bu işlem yapıldığında, ulaştırma tablosu şu şekilde olacaktır:

Dengelenmiş Ulaştırma Tablosu

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

A₁

15

A₂

13

A₃

3

Talep

9

6

7

9

31

VAM Yöntemiyle çözüme başlamak içn yapacağımız ilk şey, her satır ve sütun için ceza maliyetlerini belirlemektir. Ceza maliyetlerini bulabilmek için her satır ve sütun için en düşük iki maliyet değeri arasındaki farklar hesaplanır.

VAM – Tablo1

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

Satır Ceza

A₁

15

4

A₂

13

4

A₃

3

3

0

Talep

9

6

7

9

31

Sütun Ceza

14

17

19

30

En büyük ceza maliyeti 4.sütundadır. Bu nedenle 4.sütundaki en küçük maliyetli hücreye olabilecek en büyük miktar yani 3 birim dağıtılır.

VAM – Tablo2

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

Satır Ceza

A₁

15

4

A₂

9

13

4

Talep

9

6

7

6

31

Sütun Ceza

31

1

2

1

En büyük ceza maliyeti 1.sütundadır. Bu nedenle 1.sütundaki en küçük maliyetli hücreye olabilecek en büyük miktar yani 9 birim dağıtılır.

VAM – Tablo3

T₂

T₃

T₄

Arz

Satır Ceza

A₁

A₂

Talep

Sütun Ceza

En büyük ceza maliyeti 1.satırdadır. Bu nedenle 1.satırdaki en küçük maliyetli hücreye olabilecek en büyük miktar yani 6 birim dağıtılır.

VAM – Tablo4

T₃

T₄

Arz

Satır Ceza

A₁

9

9

A₂

4

4

12

Talep

7

6

31

Sütun Ceza

2

1

En büyük ceza maliyeti 2.satırdadır. Bu nedenle 2.satırdaki en küçük maliyetli hücreye olabilecek en büyük miktar yani 7 birim dağıtılır.

4.sütunu dengelemek için, kalan 6 birimlik arz X₁₄’e ve kalan 3 birim, X₂₁’e atanır. Sonuçta aşağıdaki başlangıç çözümü elde edilir.

Vogel Yaklaşımına Göre Başlangıç Çözümü

T₁

T₂

T₃

T₄

Arz

A₁

6

3

6

15

A₂

9

4

13

A₃

3

3

Talep

9

6

7

9

31

Toplam maliyet = 6 x 17 + 3 x 21 + 6 x 30 + 9 x 14 + 4 x 19 + 3 x 0 = 547

1.3.OPTİMUM ÇÖZÜMÜN BULUNMASI

Bu bölümde, ulaştırma problemlerinde çözüme ulaşmak için kullanılan iki yöntemden bahsedeceğiz. Bu iki yöntem şunlardır:

Atlama Taşı Yöntemi

Çoğaltan Yöntemi

1.3.1.Atlama Taşı Yöntemi

Bu yöntemde optimum çözüme ulaşabilmek için, boş hücrelere atama yapıldığında toplam maliyetin azalıp azalmadığı bulunmaya çalışılır. Eğer yeni yapılan atamalar ile dağıtım miktarları değiştiğinde daha düşük bir maliyet elde ediliyorsa, optimal çözüme yaklaşılmış olur.

Atlama taşı yöntemiyle boş bir hücreye atama yapıtığımızda, toplam maliyetin ne şekilde değişeceği hesaplanabilmektedir. Boş hücreye yapılan bir birimlik atama için maliyetteki değişme miktarı (d_ij) hesaplanır.

İlk önce hangi boş hücreye atama yapmamız gerektiğine karar verirken en yüksek negatif d_ijdeğerini elde ettiğimiz hücreden işe başlamak doğru olur. Eğer tüm d_ijdeğerleri pozitif ise boş bir hücreye yapılacak atama herhangi bir tasarruf sağlamayacaktır. Bu durumda optimum çözüme ulaşılmış olur.

Atlama taşı yöntemiyle boş bir hücreye atama yapıldığında dengeyi sağlamak için, bu hücreyi içine alan bir döngü oluşturulur. Döngü oluşturulurken aşağıdaki koşullar gerçekleşmelidir:

Birbirini izleyen iki tane eleman aynı satır veya sütunda yer almalıdır.

İkiden fazla birbirini izleyen aynı eleman aynı satır veya sütunda yer almamalıdır.

Birbirini takip eden elemanların sonuncusu birinci elemanla aynı satır ya da sütunda yer almalıdır.

Örnek3

A, B ve C fabrikaları kendileri için gerekli hammaddeleri X, Y, Z depolarından temin etmektedirler. Depoların arz edebileceği miktarlar, fabrikaların talepleri ve taşıma maliyetleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

	A	B	C	ARZ
X	6	13	15	240
Y	11	7	8	320
Z	9	5	10	80
TALEP	200	280	160	640

Kuzey-Batı Köşesi Yöntemiyle Bulunan Başlangıç Çözümü

A

B

C

Arz

X

200

40

240

Y

240

80

320

Z

80

80

Talep

200

280

160

640

Çözüme hangi hücreden başlayacağımızı bulmak için her boş hücre için d_ijdeğerlerini hesaplayalım:

d₁₃= 15 – 8 + 7 – 13 = 1

d₂₁= 11 – 6 + 13 – 7 = 11

d₃₁= 9 – 10 + 8 – 7 + 13 – 6 = 7

d₃₂= 5 – 10 + 8 – 7 = -4

Maliyetlerde azalmaya neden olabilecek tek değer –4’tür. Dolayısıyla bu değeri veren hücreye atama yapmamız gerekir. Bu hücreye atayacağımız miktar 80’i geçemez. 80 değerini atadığımızda buna bağlı olarak X₃₃ değeri 0, X₂₃ değeri 160, X₂₂ değeri 160 olur. Bu işlem sonucunda elde edilen tablo aşağıda verilmiştir:

İlk İterasyon Sonucunda Elde Edilen Çözüm

A

B

C

Arz

X

200

40

240

Y

160

160

320

Z

80

80

Talep

200

280

160

640

Hangi hücreden çözüme devam edeceğimizi bulabilmek için, bir önceki adımda yaptığımız işlemi tüm boş hücreler için tekrar yapmamız gereklidir.

d₁₃= 15 – 8 + 7 – 13 = 1

d₂₁= 11 – 6 + 13 – 7 = 11

d₃₁= 9 – 5 + 13 – 6 = 11

d₃₃= 10 – 8 + 7 – 5 = 4

Bulduğumuz tüm d_ij değerleri pozitif çıkmıştır. Bu, boş bir hücreye yapacağımız atamaların maliyette herhangi bir tasarruf sağlamayacağı anlamına gelir. Yani optimum çözüme ulaşılmıştır.

Toplam ulaştırma maliyeti = 200 x 6 + 40 x 13 + 160 x 7 + 160 x 8 + 80 x 5 = 4520 olarak bulunur.

1.3.2.Çoğaltan Yöntemi

Çoğaltan yöntemi, daha önce anlattığımız atlama taşı yönteminden ve diğer alışılagelmiş yöntemlerden üstündür. Bu yöntem diğer yöntemlere göre hesaplama işlemi ve optimum çözüme ulaşma bakımından diğer yöntemlerden kolaydır.

Bu yöntemde çoğaltan olarak adlandıracağımız dual değişkenler (u_i ve v_j) kullanılır. i x j’lik bir tabloda önce bu değişkenlerden biri (bu değişken genellikle u₁’dir) 0 kabul edilerek, her dolu hücre için aşağıdaki denklem yazılır:

X_ij için: u_i + v_j = c_ij

Yukarıdaki denklemlerden bulunan u_i ve v_j değerleri kullanılarak her boş hücre için aşağıdaki denklemler yazılarak d_ij değerleri hesaplanır:

X_ij için: d_ij = u_i + v_j - c_ij

Eğer bulunan tüm d_ij değerleri sıfıra eşit veya negatifse optimum çözüme ulaşılmış olur. Aksi halde en büyük pozitif d_ij değerini veren hücreye atama yapılır. Daha önceki yöntemde yaptığımız gibi döngü oluşturularak diğer hücrelerde gerekli düzeltmeler yapılır ve çözüme devam edilir.

Dilerseniz aşağıdaki örnek problem üzerinde bu yöntemi uygulamaya çalışalım.

Örnek4

A, B, C fabrikaları X, Y, Z, T pazarlarına mal göndermektedir. Fabrikaların gönderebileceği mal miktarları ve pazarların tahmin edilen talebi aşağıdaki gibidir:

A: 200 birim, B: 300 birim, C: 450 birim

X: 250 birim, Y: 100 birim, Z: 225 birim, T: 325 birim

Fabrikalardan pazarlara birim malların ulaştırma maliyeti ise aşağıdaki tabloda verilmiştir:

	X	Y	Z	T
A	15	18	12	13
B	10	10	11	9
C	8	5	7	8

Bu problem, dengeye getirilerek Vogel Yaklaşımı’yla çözülmüş ve aşağıdaki başlangıç çözümü bulunmuştur.

X

Y

Z

T

K

Arz

A

150

50

200

B

125

175

300

C

125

100

225

450

Talep

250

100

225

325

50

950

Optimum çözümü bulmak için öncelikle yukarıdaki tabloda dolu olan hücreler için aşağıdaki denklemler yazılır:

X₁₄ için: u₁ + v₄ = c₁₄= 13

X₁₅ için: u₁ + v₅ = c₁₅= 0

X₂₁ için: u₂ + v₁ = c₂₁= 10

X₂₄ için: u₂ + v₄ = c₂₄= 9

X₃₁ için: u₃ + v₁ = c₃₁= 8

X₃₂ için: u₃ + v₂ = c₃₂= 5

X₃₃ için: u₃ + v₃ = c₃₃= 7

Bu denklemler u₁= 0 kabul edilerek çözüldüğünde aşağıdaki değerler elde edilir:

u₂ = -4 v₁ = 14 v₃ =13 v₅ = 5

u₃ = -6 v₂ = 11 v₄ =13

Tablodaki boş hücreler için aşağıdaki denklemler yazılarak d_ij değerleri hesaplanır:

X₁₁ için: d₁₁ = u₁ + v₁ - c₁₁= 0 + 14 – 15 = -1

X₁₂ için: d₁₂ = u₁ + v₂ - c₁₂= 0 + 11 – 18 = -7

X₁₃ için: d₁₃ = u₁ + v₃ - c₁₃= 0 + 13 – 12 = 1

X₂₂ için: d₂₂ = u₂ + v₂ - c₂₂= -4 + 11 – 10 = -3

X₂₃ için: d₂₃ = u₂ + v₃ - c₂₃= -4 + 13 – 11 = -2

X₂₅ için: d₂₅ = u₂ + v₅ - c₂₅= -4 + 0 - 0 = -4

X₃₄ için: d₃₄ = u₃ + v₄ – c₃₄= 6 + 13 – 8 = -1

X₃₅ için: d₃₅ = u₃ + v₅ – c₃₅= -6 - 0 + 0 = -6

Tek pozitif değer d₁₃ değeridir. Bu durumda çözüme, X₁₃’e atama yaparak başlamak gerekir. Bu amaçla X₁₃hücresinden başlayan ve burada sona eren bir döngü belirlenir. Bu döngü, X₁₃ - X₁₄ + X₂₄ – X₃₁ + X₃₃ döngüsüdür.

X₁₃ ‘ün değeri, bu döngüde yer alan değişkenlerin negatif değerli olanlarının mutlak değerce en küçüğü yani 125’tir. X₁₃‘e 125 birim atanıp gerekli düzenlemeler yapıldığında aşağıdaki tabloya ulaşılır:

X

Y

Z

T

K

Arz

A

125

25

50

200

B

300

300

C

250

100

100

450

Talep

250

100

225

325

50

950

Bulduğumuz çözümün optimum olup olmadığını anlamak için daha önce yaptığımız işlemler aynen tekrarlanır.

X₁₃ için: u₁ + v₃ = c₁₃= 12

X₁₄ için: u₁ + v₄ = c₁₄= 13

X₁₅ için: u₁ + v₅ = c₁₅= 0

X₂₄ için: u₂ + v₄ = c₂₄= 9

X₃₁ için: u₃ + v₁ = c₃₁= 8

X₃₂ için: u₃ + v₂ = c₃₂= 5

X₃₃ için: u₃ + v₃ = c₃₃= 7

Bu denklemler u₁= 0 kabul edilerek çözüldüğünde aşağıdaki değerler elde edilir:

u₂ = -4 v₁ = 13 v₃ =12 v₅ = 0

u₃ = -5 v₂ = 10 v₄ =13

Tablodaki boş hücreler için aşağıdaki denklemler yazılarak d_ij değerleri hesaplanır:

X₁₁ için: d₁₁ = u₁ + v₁ - c₁₁= 0 + 13 – 15 = -2

X₁₂ için: d₁₂ = u₁ + v₂ - c₁₂= 0 + 10 – 18 = -8

X₂₂ için: d₂₂ = u₂ + v₂ - c₂₂= -4 + 10 – 10 = -4

X₂₃ için: d₂₃ = u₂ + v₃ - c₂₃= -4 + 12 – 11 = -3

X₂₅ için: d₂₅ = u₂ + v₅ - c₂₅= -4 + 0 - 0 = -4

X₃₄ için: d₃₄ = u₃ + v₄ – c₃₄= -5 + 13 – 8 = 0

X₃₅ için: d₃₅ = u₃ + v₅ – c₃₅= -5 - 0 + 0 = -5

Temel değişkenlerin hepsinin değerleri, 0’dan küçük ya da 0’a eşit olduğuna göre bulunan çözüm optimum çözümdür.

Toplam ulaştırma maliyeti = 12 x 125 + 13 x 25 + 0 x 50 + 9 x 300 + 8 x 250 + 5 x 100 + 7 x 100 = 7725’tir.

YARARLANILAN KAYNAKLAR

ERKUT, Haluk, BASKAK, Murat, Stratejiden Uygulamaya Tesis Tasarımı, 2.Baskı, İrfan Yayıncılık, İstanbul, 1997

ÖZTÜRK, Ahmet, Yöneylem Araştırması, 4.Baskı, Ekin Kitabevi, Bursa, 1994

TAHA, Hamdi A., Operations Research: An Introduction, 5.Baskı, Prentice-Hall, ABD, 1992

Arz	Üretim Merkezi	Tüketim Merkezi	Talep
A₁	S₁	D₁	T₁

A₂	S₂

A₃	S₃	D₂	T₂

	D₁	D₂	D₃	D₄	Arz
S₁	X₁₁	X₁₂	X₁₃	X₁₄	A₁
S₂	X₂₁	X₂₂	X₂₃	X₂₄	A₂
S₃	X₃₁	X₃₂	X₃₃	X₃₄	A₃
S₄	X₄₁	X₄₂	X₄₃	X₄₄	A₄
Talep	T₁	T₂	T₃	T₄

	1.müşteri	2.müşteri	3.müşteri	4.müşteri
1.merkez	0	17	21	30
2.merkez	14	18	19	31